Kort fortalt handler derivasjon om hvor raskt noe vokser.

Hvis vi sier at den deriverte til en funksjon i et punkt er lik 4,
betyr det at funksjonen vokser med en hastighet på 4 i det punktet.

I figuren til høyre ser vi funksjonen: \(f(x) = 2x + 1\). Den vokser med samme hastighet overalt, nemlig 2.
Dette betyr at den deriverte er: \(f'(x) = 2\).

I andre eksempler er det vanskelig eller umulig å se hva den deriverte i et punkt er, eller å finne et
generelt uttrykk for funksjonens deriverte. Derfor har matematikere utviklet noen
enkle derivasjonsregler som gjør dette mye lettere.

Her er noen av dem:

Konstant:
\(f(x) = 5\)
\(f'(x) = 0\)
Potens:
\(f(x) = x^n\)
\(f'(x) = n x^{n-1}\)
Sum/differens:
\((f + g)' = f' + g'\)
\((f - g)' = f' - g'\)
Konstantfaktor:
\((k \cdot f)' = k \cdot f'\)
Produktregel:
\((f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'\)
Kvotientregel:
\(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}\)

ABC-formelen er den mest effektive metoden for å løse andregradslikninger på formen:

Hvor \(a \neq 0\). Formelen gir oss løsningene direkte:

Steg-for-steg prosess:

1. Identifiser koeffisientene:
Fra likningen \(ax^2 + bx + c = 0\) finner du verdiene for a, b og c.

2. Regn ut diskriminanten:
\(\Delta = b^2 - 4ac\)

3. Anvend formelen:
Sett inn verdiene i ABC-formelen.

Eksempel: Løs 2x² - 4x - 6 = 0

Steg 1: Identifiser koeffisienter
• \(a = 2\)
• \(b = -4\)
• \(c = -6\)

Steg 2: Regn ut diskriminanten
\(\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64\)

Steg 3: Anvend formelen
\(x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 8}{4}\)

Løsninger:
• \(x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3\)
• \(x_2 = \frac{4 - 8}{4} = -1\)

Kort fortalt handler integrasjon om å finne arealet under en kurve eller den antideriverte av en funksjon.

Integrasjon er det motsatte av derivasjon, og brukes ofte for å beregne totalforandringer, arealer og volumer.

Grunnleggende begreper:

Det ubestemte integralet:
\(\int f(x) \, dx = F(x) + C\)
hvor \(F'(x) = f(x)\) og C er en konstant.

Det bestemte integralet:
\(\int_a^b f(x) \, dx\)
gir arealet under kurven fra \(x = a\) til \(x = b\).

Viktige integrasjonsregler:

Konstant:
\(\int k \, dx = kx + C\)
Potens:
\(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
Sum/differens:
\(\int (f + g) \, dx = \int f \, dx + \int g \, dx\)
Konstantfaktor:
\(\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx\)
Eksponentiell:
\(\int e^x \, dx = e^x + C\)
Naturlig log:
\(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)

Eksempel:

Finn integralet av \(f(x) = 3x^2 + 2x - 1\):

Her er grunnleggende formler for å beregne areal, omkrets og volum av vanlige geometriske figurer:

Todimensjonale figurer:

Rektangel:
\(A = b \cdot h\)
\(O = 2(b + h)\)
Sirkel:
\(A = \pi r^2\)
\(O = 2\pi r\)
Trekant:
\(A = \frac{bh}{2}\)
\(O = a + b + c\)
Kvadrat:
\(A = s^2\)
\(O = 4s\)
Parallellogram:
\(A = b \cdot h\)
\(O = 2(a + b)\)
Trapes:
\(A = \frac{(a+b)h}{2}\)
\(O = a + b + c + d\)

Tredimensjonale figurer:

Kube:
\(V = s^3\)
Overflate: \(A = 6s^2\)
Sylinder:
\(V = \pi r^2 h\)
Overflate: \(A = 2\pi r(r + h)\)
Kule:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
Overflate: \(A = 4\pi r^2\)
Rektangulært prisme:
\(V = l \cdot b \cdot h\)
Overflate: \(A = 2(lb + lh + bh)\)
Kjegle:
\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)
Overflate: \(A = \pi r(r + s)\)
Pyramide:
\(V = \frac{1}{3} \cdot A_{bunn} \cdot h\)

God forberedelse dagen før eksamen kan gjøre en stor forskjell på resultatet ditt. Her er syv praktiske tips:

1. Start tidlig og planlegg

Begynn forberedelsene i god tid før eksamen. Lag en realistisk studieplan som dekker alle emner du trenger å repetere. Del store emner inn i mindre, håndterbare deler.

2. Lag en strukturert plan

Prioriter emner basert på hvor mye de teller på eksamen og hvor trygg du føler deg. Fokuser mest tid på det du synes er vanskeligst, men ikke glem å repetere det du kan godt også.

3. Ta regelmessige pauser

Hjernen din trenger hvile for å absorbere informasjon. Følg Pomodoro-teknikken: 25 minutter fokusert lesing, så 5 minutters pause. Ta en lengre pause hver 2. time.

4. Øv med tidligere eksamenssett

Gå gjennom gamle eksamensoppgaver under eksamenslignende forhold. Dette hjelper deg med å:

• Forstå oppgavetyper og format
• Øve på tidsbruk
• Identifisere kunnskapshull
• Redusere eksamensangst

5. Prioriter søvn

Få 7-9 timer søvn natten før eksamen. Unngå å sitte oppe hele natten og "presse inn" mer stoff - det vil bare gjøre deg mer trøtt og forvirret.

6. Spis riktig mat

Hold energinivået stabilt med sunt kosthold:

• Frokost: Havregrøt, egg, eller fullkornsbrød
• Lunsj: Protein + komplekse karbohydrater
• Snacks: Nøtter, frukt, yoghurt
• Drikke: Mye vann, begrens kaffe

7. Bygg selvtillit

Minne deg selv på alt du har lært og hvor hardt du har jobbet. Visualiser suksess og husk at det er normalt å føle seg litt nervøs - det betyr at du bryr deg!

Et likningssett (system av likninger) er flere likninger med flere ukjente som må løses samtidig.

For eksempel:

De tre hovedmetodene:

1. Innsettingsmetoden

• Løs en av likningene for en av variablene
• Sett denne inn i den andre likningen
• Løs for den gjenværende variabelen
• Finn den andre variabelen

2. Addisjonsmetoden (eliminasjonsmetoden)

• Multipliser likningene slik at koeffisientene blir like
• Legg sammen eller trekk fra for å eliminere en variabel
• Løs for den gjenværende variabelen
• Finn den andre variabelen

3. Grafisk metode

• Tegn begge likningene som grafer
• Finn skjæringspunktet
• Koordinatene til skjæringspunktet er løsningen

Kontroll av løsningen:

Sett alltid inn de funne verdiene i begge de opprinnelige likningene for å sjekke at de stemmer:

Antall løsninger:

• Én løsning: Linjene skjærer hverandre i ett punkt
• Ingen løsning: Linjene er parallelle
• Uendelig mange løsninger: Linjene er identiske